viernes, 1 de mayo de 2015

Una teoría más en las colas de la teoría

En en esto de andar buscando artículos que relacionen a las ciencias sociales con las matemáticas, me encontré un interesante documento llamado ¿Es posible reducir el tiempo de espera en las colas?

Se trata de un artículo escrito, por lo menos teóricamente, a ocho manos, pero, como muchos sabemos, suelen ser menos las manos que realmente escriben los artículos publicados en las revistas científicas, por no decir las cabezas que los proponen -mas, por el momento, no nos entretengamos con los pormenores, quizá pormayores, del mundo de la academia. Decíamos, entonces, que se trata de un artículo en el que se propone un modelo matemático para tratar de resolver el problema de las colas que se generan como resultado de la demanda de algún bien o servicio. El problema de las colas ha resultado de tal importancia para nuestra sociedad, y no podía ser de otro modo, pero ya discutiremos sobre esto en otra ocasión, pero entonces, decíamos que ha resultado de tal importancia el "problema de las colas" que existe ya una denominada Teoría de Colas que hace amplio uso de las matemáticas.

Pero, además de mi interés por un artículo en el que se propone un modelo matemático para la solución de un problema de carácter social, lo que también llamó mi atención fue que los dos métodos propuestos para la solución matemática del problema de colas hacen uso de los llamados números triangulares, sucesiones numéricas (objetos matemáticos) así denominados por los pitagóricos dada la representación geométrica que pueden adquirir: si representamos la unidad con un punto, todos los puntos o, mejor dicho, la cantidad de puntos de los números triangulares pueden recomponerse o acomodarse para formar un triángulo equilátero. Los números triangulares fueron objeto de fascinación para los pitagóricos, allá por el año 500 a.C. en la Grecia Clásica, y en nuestros días forman parte de la Teoría de Números. Me parece importante advertir esto pues para muchas personas pareciera que las matemáticas, como pura disciplina teórica, no hacen más que plantear símbolos en arreglos como fórmulas sin mayor sentido que andar perdiendo un poco el tiempo, pasatiempo intelectual, dirían, que parecen no tener mayores aplicaciones en la vida cotidiana. Pues bien, también sobre los pormenores de la teoría pura y la aplicada hablaremos en otro momento. Por ahora, veamos cómo pueden plantearse matemáticamente los números triangulares.

Dícese que allá por la segunda mitad del siglo XVIII, Johann Karl Friederich Gauss, matemático alemán tcc "El Principe de las Matemáticas", siendo un niño prodigio logró obtener la siguiente generalización:

$$S=1+2+3+...+(n-1)+n=\frac { n(n+1) }{ 2 }$$

es decir, advirtió que la suma de los n primeros números naturales, esto es, que para sumar cualquier sucesión de números naturales (0, 1, 2, 3... etc. hasta el número que se nos ocurra), se podía generalizar mediante la utilización de la siguiente fórmula (1), donde n es justamente la cantidad de números que queremos sumar, tal que si n = 1000, la suma, sin el empleo de la fórmula, sería 1 + 2 + 3 + 4 + 5... hasta llegar al 1000, operación que ya sólo de pensarla hace claudicar hasta al contador más perseverante:

(1)
$$S=\frac { n(n+1) }{ 2 }$$

Además, una de las curiosas características de las progresiones de los números triangulares es que la suma de los dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto, es decir:

(2)
$$\frac { n(n+1) }{ 2 } +\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 } ={ (n+1) }^{ 2 }$$

Demostremos mediante el método directo la proposición anterior (2):

$$\frac { n(n+1) }{ 2 } +\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 } =\frac { n(n+1)+(n+1)(n+2) }{ 2 } =$$
$$\frac { (n+1)\quad \left[ (n+(n+2) \right]  }{ 2 } =\frac { (n+1)(2n+2) }{ 2 } =$$
$$\frac { 2(n+1)(n+1) }{ 2 } =(n+1)(n+1)={ (n+1) }^{ 2 }$$
Q.E.D.

Regresando ahora al tema con el que iniciamos, el artículo nos muestra que la teoría matemática, por muy abstracta que pueda parecer, también puede encontrar algunas aplicaciones interesantes que buscan soluciones técnicas a problemas relativamente complejos. Es cierto que en el afán de la simplificación de la realidad mediante modelos matemáticos se puede caer fácilmente en soluciones simplistas, particularmente con los complejísimos fenómenos sociales. Sin embargo, podemos argumentar a favor de este tipo de propuestas que si los mismos teóricos de la sociedad, como el reconocido sociólogo Max Weber (1864-1920), han propuesto tipos o categorías ideales con la finalidad de simplificar el estudio del fenómeno social, los modelos matemáticos también podrían entenderse como una forma de representación inicial del fenómeno estudiado. Añadamos que abordar el problema de carácter epistemológico transciende la finalidad de este brevísimo escrito, cuyo objetivo consistió únicamente en mostrar cómo la teoría matemática a veces encuentra ámbitos de aplicación en la vida "cotidiana" incluso con sus mas simples y sencillos desarrollos.

Dejaremos para después esta sumamente interesante "propiedad" de las matemáticas, y hablaremos igualmente de su profunda relación con las ciencias y su más reciente (históricamente hablando) relación con las ciencias sociales.

M:.